Soit f (x,y,z) = (2x + z, x+y, -2x-z)
Et g(x, y, z) = (x+2y-z, 3x-y)
9. L’application g o f est elle définie ? Si oui, déterminez son espace de départ et d'arrivéée (en justifiant).
L’application g o f revient à calculer le produit matriciel de G x F.
G a pour espace de départ E = R^3 et espace d'arrivée F = R^2,
et F a pour espace de départ E = R^3 et espace d'arrivée F = R^3.
G a donc 2 lignes et 3 colonnes et F a 3 lignes et 3 colonnes.
Donc le produit des matrices est possible car le nombre de colonnes de G est égal au nombre de ligne de F.
g o f ou G x F donne une matrice de la forme (2x3), c'est-à-dire 2 lignes et 3 colonnes.
10. Déterminez la matrice représentative de G. Calculez M = g o f.
ALGEBRE - JUILLET 2013
REPRESENTATION GRAPHIQUE - MAI 2014
CLIQUEZ POUR CONSULTER LES EXERCICES
ALGEBRE - DIAGONALISATION - METHODOLOGIE
MATRICE INVERSIBLE
Si et seulement det M =/= 0
ETAPES POUR DETERMINER LES VALEURS PROPRES
> Calculer le det (A-λId) = 0
> Après avoir résolu votre équation, vous obtenez plusieurs λ qui sont vos valeurs propres (il est possible d’avoir des doublons)
> Pour chaque valeur propre, il faut déterminer le système associé et en déduire un vecteur propre
> Composer la matrice de passage avec les vecteurs propres associés
ALGEBRE - APPLICATION TYPE PARTIEL
Soit f(x, y, z) = (3x – 2y – z ; x – z ; 2x - 2y)
1. Application linéaire ? Rappelez la définition et justifiez brièvement.
2. Déterminer noyau et rang.
3. Déterminer C la matrice pour les bases canoniques.
4. C est elle inversible ? Justifiez.
5. Quelles sont ses valeurs propres ? Vérifiez les avec les méthodes usuelles.
6. C est elle diagonalisable ? On prendra des vecteurs propres à première composante non-nulle et égale à 1
7. Donnez la décomposition C = PDP^-1
8. Rappelez la formule A^n
ALGEBRE - APPLICATION TYPE PARTIEL 2
Soit g(x, y, z) = (x-2y+2z , -2x+y+2z , -2x-2y+5z)
1. Trouvez le déterminant.
2. Quelles sont ses valeurs propres ? Vérifiez les avec les méthodes usuelles.
3. G est elle diagonalisable ? On prendra des vecteurs propres à première composante non-nulle et égale à 1
4. Donnez la décomposition G = PDP^-1
MICROECONOMIE - MAI 2013
Question de cours
Expliquez l’équilibre de CPP (concurrence pure et parfaite) dans le cas de coûts de production croissants.
Exercice
Fonction de production du monopole ABC est
Q = f(K, L) = a.K.L
> K et L : les facteurs de production
> Q : niveau de production
> a > 0 (strictement positif)
> PL et PK : prix des facteurs K et L
> CT : coût total de production
> P : le prix de vente
1. Via le lagrangien, trouvez les quantités L* et K* de l’optimum, lorsque le producteur décide de minimiser le coût total, pour une quantité notée Q0
2. Donnez la définition du sentier d’expansion et précisez son équation.
3. Déterminer la nature des rendements d’échelle et le degré d’homogénéité de la fonction.
On notera a = 1/8 , PL = 2 PK
4. Calculez la valeur optimale du coût de production CT* avec Q0 = 100 et PK = 50 euros.
5. A partir des questions 3 et 4, déduisez la valeur optimale du coût total lorsque la quantité Q0 est fixée à 400 unités
6. Commentez le cout moyen.
7. Déterminez le coût total CT(Q), fonction des quantités produites
8. Déduisez le coût moyen CM(Q)
9. Qu’en déduisez vous pour le monopole ABC ?
La fonction de demande pour le produit X produit par ABC est
Q = 200 – (2/5).P
10. Déterminez les fonctions de recette totale et recette marginale.
11. Quelle quantité doit produire ABC pour maximiser son chiffre d’affaires.
12. Déterminez l’élasticité de la demande en ce point.
13. Calculer la valeur de ce chiffre d’affaires et le profit associé. La production est-elle rentable ?
14. Indiquez quels sont les avantages et inconvénients d’une stratégie visant à maximiser le chiffre d’affaires.
15. Si l’Etat impose au monopole ABC une baisse de prix de 60%. Quel est l’impact de cette décision sur les quantités et sur le chiffre d’affaires ?
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> AVRIL 2013 - ANALYSE
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REPRESENTATION GRAPHIQUE - JUILLET 2013
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1ER SEMESTRE
MACROECONOMIE - PROBABILITES - STATISTIQUES - COMPTABILITE - MONNAIE 1 - ALGEBRE - ANALYSE - FINANCES - FISCALITE
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